Przedmioty

Kariera

Knowunity Pro

Otwórz aplikację

Przedmioty

Przedmioty

Matematyka

Planimetria

Twierdzenie talesa

Stosowanie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia talesa do ustalania równoległości prostych

1342

•

8 wrz 2022

•

2 strony

Zadania i Teoria: Równania i Nierówności z Wartością Bezwzględną i Parametrem

user profile picture

zuzka

@zuzkak

Dokument przedstawia kluczowe koncepcje dotyczące równań i nierówności z wartością... Pokaż więcej

RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ I PARAMETREM Wartością bezwzględną liczby meak. x ə · liczbę x, jeśli jest liczbą nicujemną •

Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Ta część dokumentu skupia się na równaniach i nierównościach z wartością bezwzględną, prezentując kluczowe twierdzenia i metody ich rozwiązywania.

Highlight: |W| = a ⇔ W=a∨W=−aW=a ∨ W = -a, gdzie a ∈ R⁺, a W to dowolne wyrażenie

Dokument przedstawia różne przypadki nierówności z wartością bezwzględną, co jest niezwykle przydatne przy rozwiązywaniu zadań z wartością bezwzględną.

Example:

  • |W| < a ⇔ W>−a∧W<aW > -a ∧ W < a ⇔ -a < W < a ⇔ W ∈ −a,a-a, a
  • |W| ≤ a ⇔ W≥−a∧W≤aW ≥ -a ∧ W ≤ a ⇔ -a ≤ W ≤ a ⇔ W ∈ <-a, a>

Następnie omówione są równania liniowe i ich właściwości, co stanowi podstawę do zrozumienia bardziej złożonych zagadnień, takich jak równania z parametrem.

Definition: Równaniem liniowym z jedną niewiadomą x nazywamy równanie, które można przekształcić do postaci ax+b=0, gdzie a, b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi.

Dokument prezentuje również warunki rozwiązalności równań liniowych, co jest kluczowe przy rozwiązywaniu równań liniowych z parametrem.

Highlight: Równanie liniowe ax+b=0:

  1. ma tylko jedno rozwiązanie ⇔ a ≠ 0 wtedyx=−b/awtedy x = -b/a
  2. jest tożsamościowe ⇔ a = 0 i b = 0
  3. jest sprzeczne ⇔ a = 0 i b ≠ 0

Na końcu tej części omówione są nierówności liniowe, co uzupełnia wiedzę na temat równań i nierówności z wartością bezwzględną.

Definition: Nierównością liniową z jedną niewiadomą x nazywamy nierówność przyjmującą postać: ax+b > 0 lub ax+b < 0 lub ax+b ≥ 0 lub ax+b ≤ 0, gdzie a, b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi.

RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ I PARAMETREM Wartością bezwzględną liczby meak. x ə · liczbę x, jeśli jest liczbą nicujemną •

Wartość bezwzględna i jej właściwości

Dokument rozpoczyna się od definicji wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej. Przedstawia podstawowe właściwości wartości bezwzględnej, które są kluczowe dla rozwiązywania równań i nierówności z wartością bezwzględną.

Definition: Wartość bezwzględna liczby x to:

  • liczba x, jeśli jest nieujemna
  • liczba przeciwna do x, jeśli jest ujemna

Następnie prezentowane są ważne twierdzenia dotyczące wartości bezwzględnej, które są niezbędne przy rozwiązywaniu zadań.

Highlight: |x| = |-x| oraz √x² = |x|

Dokument omawia również geometryczną interpretację wartości bezwzględnej na osi liczbowej, co pomaga w zrozumieniu jej znaczenia.

Example: Środek odcinka wyznaczonego przez dwa punkty o współrzędnych a i b na osi liczbowej ma współrzędną równą średniej arytmetycznej liczb a i b, czyli a+ba+b/2.

Przedstawione są także twierdzenia dotyczące odległości między punktami na osi liczbowej, co jest bezpośrednio związane z wartością bezwzględną.

Vocabulary: Odległość między dwoma liczbami a i b na osi liczbowej jest równa |a-b|.



Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Planimetria

Twierdzenie talesa

Stosowanie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia talesa do ustalania równoległości prostych

 

Matematyka

•

1342

•

8 wrz 2022

•

2 strony

Zadania i Teoria: Równania i Nierówności z Wartością Bezwzględną i Parametrem

user profile picture

zuzka

@zuzkak

Dokument przedstawia kluczowe koncepcje dotyczące równań i nierówności z wartością bezwzględną oraz równań z parametrem. Omawia definicje, twierdzenia i właściwości związane z tymi zagadnieniami matematycznymi, które są istotne dla uczniów szkół średnich.

• Wyjaśnia pojęcie wartości bezwzględnej i jej... Pokaż więcej

RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ I PARAMETREM Wartością bezwzględną liczby meak. x ə · liczbę x, jeśli jest liczbą nicujemną •

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Ta część dokumentu skupia się na równaniach i nierównościach z wartością bezwzględną, prezentując kluczowe twierdzenia i metody ich rozwiązywania.

Highlight: |W| = a ⇔ W=a∨W=−aW=a ∨ W = -a, gdzie a ∈ R⁺, a W to dowolne wyrażenie

Dokument przedstawia różne przypadki nierówności z wartością bezwzględną, co jest niezwykle przydatne przy rozwiązywaniu zadań z wartością bezwzględną.

Example:

  • |W| < a ⇔ W>−a∧W<aW > -a ∧ W < a ⇔ -a < W < a ⇔ W ∈ −a,a-a, a
  • |W| ≤ a ⇔ W≥−a∧W≤aW ≥ -a ∧ W ≤ a ⇔ -a ≤ W ≤ a ⇔ W ∈ <-a, a>

Następnie omówione są równania liniowe i ich właściwości, co stanowi podstawę do zrozumienia bardziej złożonych zagadnień, takich jak równania z parametrem.

Definition: Równaniem liniowym z jedną niewiadomą x nazywamy równanie, które można przekształcić do postaci ax+b=0, gdzie a, b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi.

Dokument prezentuje również warunki rozwiązalności równań liniowych, co jest kluczowe przy rozwiązywaniu równań liniowych z parametrem.

Highlight: Równanie liniowe ax+b=0:

  1. ma tylko jedno rozwiązanie ⇔ a ≠ 0 wtedyx=−b/awtedy x = -b/a
  2. jest tożsamościowe ⇔ a = 0 i b = 0
  3. jest sprzeczne ⇔ a = 0 i b ≠ 0

Na końcu tej części omówione są nierówności liniowe, co uzupełnia wiedzę na temat równań i nierówności z wartością bezwzględną.

Definition: Nierównością liniową z jedną niewiadomą x nazywamy nierówność przyjmującą postać: ax+b > 0 lub ax+b < 0 lub ax+b ≥ 0 lub ax+b ≤ 0, gdzie a, b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi.

RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ I PARAMETREM Wartością bezwzględną liczby meak. x ə · liczbę x, jeśli jest liczbą nicujemną •

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wartość bezwzględna i jej właściwości

Dokument rozpoczyna się od definicji wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej. Przedstawia podstawowe właściwości wartości bezwzględnej, które są kluczowe dla rozwiązywania równań i nierówności z wartością bezwzględną.

Definition: Wartość bezwzględna liczby x to:

  • liczba x, jeśli jest nieujemna
  • liczba przeciwna do x, jeśli jest ujemna

Następnie prezentowane są ważne twierdzenia dotyczące wartości bezwzględnej, które są niezbędne przy rozwiązywaniu zadań.

Highlight: |x| = |-x| oraz √x² = |x|

Dokument omawia również geometryczną interpretację wartości bezwzględnej na osi liczbowej, co pomaga w zrozumieniu jej znaczenia.

Example: Środek odcinka wyznaczonego przez dwa punkty o współrzędnych a i b na osi liczbowej ma współrzędną równą średniej arytmetycznej liczb a i b, czyli a+ba+b/2.

Przedstawione są także twierdzenia dotyczące odległości między punktami na osi liczbowej, co jest bezpośrednio związane z wartością bezwzględną.

Vocabulary: Odległość między dwoma liczbami a i b na osi liczbowej jest równa |a-b|.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS