Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Ta część dokumentu skupia się na równaniach i nierównościach z wartością bezwzględną, prezentując kluczowe twierdzenia i metody ich rozwiązywania.

Highlight: |W| = a ⇔ (W=a ∨ W = -a), gdzie a ∈ R⁺, a W to dowolne wyrażenie

Dokument przedstawia różne przypadki nierówności z wartością bezwzględną, co jest niezwykle przydatne przy rozwiązywaniu zadań z wartością bezwzględną.

Example:

• |W| < a ⇔ (W > -a ∧ W < a) ⇔ -a < W < a ⇔ W ∈ (-a, a)
• |W| ≤ a ⇔ (W ≥ -a ∧ W ≤ a) ⇔ -a ≤ W ≤ a ⇔ W ∈ <-a, a>

Następnie omówione są równania liniowe i ich właściwości, co stanowi podstawę do zrozumienia bardziej złożonych zagadnień, takich jak równania z parametrem.

Definition: Równaniem liniowym z jedną niewiadomą x nazywamy równanie, które można przekształcić do postaci ax+b=0, gdzie a, b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi.

Dokument prezentuje również warunki rozwiązalności równań liniowych, co jest kluczowe przy rozwiązywaniu równań liniowych z parametrem.

Highlight: Równanie liniowe ax+b=0:

1. ma tylko jedno rozwiązanie ⇔ a ≠ 0 (wtedy x = -b/a)
2. jest tożsamościowe ⇔ a = 0 i b = 0
3. jest sprzeczne ⇔ a = 0 i b ≠ 0

Na końcu tej części omówione są nierówności liniowe, co uzupełnia wiedzę na temat równań i nierówności z wartością bezwzględną.

Definition: Nierównością liniową z jedną niewiadomą x nazywamy nierówność przyjmującą postać: ax+b > 0 lub ax+b < 0 lub ax+b ≥ 0 lub ax+b ≤ 0, gdzie a, b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi.