Otwórz aplikację

Przedmioty

1342

8 wrz 2022

2 strony

Zadania i Teoria: Równania i Nierówności z Wartością Bezwzględną i Parametrem

user profile picture

zuzka

@zuzkak

Dokument przedstawia kluczowe koncepcje dotyczące równań i nierówności z wartością... Pokaż więcej

RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ I PARAMETREM
Wartością bezwzględną liczby meak. x
ə
· liczbę x, jeśli jest liczbą nicujemną
•

Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Ta część dokumentu skupia się na równaniach i nierównościach z wartością bezwzględną, prezentując kluczowe twierdzenia i metody ich rozwiązywania.

Highlight: |W| = a ⇔ W=aW=aW=a ∨ W = -a, gdzie a ∈ R⁺, a W to dowolne wyrażenie

Dokument przedstawia różne przypadki nierówności z wartością bezwzględną, co jest niezwykle przydatne przy rozwiązywaniu zadań z wartością bezwzględną.

Example:

  • |W| < a ⇔ W>aW<aW > -a ∧ W < a ⇔ -a < W < a ⇔ W ∈ a,a-a, a
  • |W| ≤ a ⇔ WaWaW ≥ -a ∧ W ≤ a ⇔ -a ≤ W ≤ a ⇔ W ∈ <-a, a>

Następnie omówione są równania liniowe i ich właściwości, co stanowi podstawę do zrozumienia bardziej złożonych zagadnień, takich jak równania z parametrem.

Definition: Równaniem liniowym z jedną niewiadomą x nazywamy równanie, które można przekształcić do postaci ax+b=0, gdzie a, b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi.

Dokument prezentuje również warunki rozwiązalności równań liniowych, co jest kluczowe przy rozwiązywaniu równań liniowych z parametrem.

Highlight: Równanie liniowe ax+b=0:

  1. ma tylko jedno rozwiązanie ⇔ a ≠ 0 wtedyx=b/awtedy x = -b/a
  2. jest tożsamościowe ⇔ a = 0 i b = 0
  3. jest sprzeczne ⇔ a = 0 i b ≠ 0

Na końcu tej części omówione są nierówności liniowe, co uzupełnia wiedzę na temat równań i nierówności z wartością bezwzględną.

Definition: Nierównością liniową z jedną niewiadomą x nazywamy nierówność przyjmującą postać: ax+b > 0 lub ax+b < 0 lub ax+b ≥ 0 lub ax+b ≤ 0, gdzie a, b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi.

RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ I PARAMETREM
Wartością bezwzględną liczby meak. x
ə
· liczbę x, jeśli jest liczbą nicujemną
•

Wartość bezwzględna i jej właściwości

Dokument rozpoczyna się od definicji wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej. Przedstawia podstawowe właściwości wartości bezwzględnej, które są kluczowe dla rozwiązywania równań i nierówności z wartością bezwzględną.

Definition: Wartość bezwzględna liczby x to:

  • liczba x, jeśli jest nieujemna
  • liczba przeciwna do x, jeśli jest ujemna

Następnie prezentowane są ważne twierdzenia dotyczące wartości bezwzględnej, które są niezbędne przy rozwiązywaniu zadań.

Highlight: |x| = |-x| oraz √x² = |x|

Dokument omawia również geometryczną interpretację wartości bezwzględnej na osi liczbowej, co pomaga w zrozumieniu jej znaczenia.

Example: Środek odcinka wyznaczonego przez dwa punkty o współrzędnych a i b na osi liczbowej ma współrzędną równą średniej arytmetycznej liczb a i b, czyli a+ba+b/2.

Przedstawione są także twierdzenia dotyczące odległości między punktami na osi liczbowej, co jest bezpośrednio związane z wartością bezwzględną.

Vocabulary: Odległość między dwoma liczbami a i b na osi liczbowej jest równa |a-b|.



Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

 

Matematyka

1342

8 wrz 2022

2 strony

Zadania i Teoria: Równania i Nierówności z Wartością Bezwzględną i Parametrem

user profile picture

zuzka

@zuzkak

Dokument przedstawia kluczowe koncepcje dotyczące równań i nierówności z wartością bezwzględną oraz równań z parametrem. Omawia definicje, twierdzenia i właściwości związane z tymi zagadnieniami matematycznymi, które są istotne dla uczniów szkół średnich.

• Wyjaśnia pojęcie wartości bezwzględnej i jej... Pokaż więcej

RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ I PARAMETREM
Wartością bezwzględną liczby meak. x
ə
· liczbę x, jeśli jest liczbą nicujemną
•

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Ta część dokumentu skupia się na równaniach i nierównościach z wartością bezwzględną, prezentując kluczowe twierdzenia i metody ich rozwiązywania.

Highlight: |W| = a ⇔ W=aW=aW=a ∨ W = -a, gdzie a ∈ R⁺, a W to dowolne wyrażenie

Dokument przedstawia różne przypadki nierówności z wartością bezwzględną, co jest niezwykle przydatne przy rozwiązywaniu zadań z wartością bezwzględną.

Example:

  • |W| < a ⇔ W>aW<aW > -a ∧ W < a ⇔ -a < W < a ⇔ W ∈ a,a-a, a
  • |W| ≤ a ⇔ WaWaW ≥ -a ∧ W ≤ a ⇔ -a ≤ W ≤ a ⇔ W ∈ <-a, a>

Następnie omówione są równania liniowe i ich właściwości, co stanowi podstawę do zrozumienia bardziej złożonych zagadnień, takich jak równania z parametrem.

Definition: Równaniem liniowym z jedną niewiadomą x nazywamy równanie, które można przekształcić do postaci ax+b=0, gdzie a, b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi.

Dokument prezentuje również warunki rozwiązalności równań liniowych, co jest kluczowe przy rozwiązywaniu równań liniowych z parametrem.

Highlight: Równanie liniowe ax+b=0:

  1. ma tylko jedno rozwiązanie ⇔ a ≠ 0 wtedyx=b/awtedy x = -b/a
  2. jest tożsamościowe ⇔ a = 0 i b = 0
  3. jest sprzeczne ⇔ a = 0 i b ≠ 0

Na końcu tej części omówione są nierówności liniowe, co uzupełnia wiedzę na temat równań i nierówności z wartością bezwzględną.

Definition: Nierównością liniową z jedną niewiadomą x nazywamy nierówność przyjmującą postać: ax+b > 0 lub ax+b < 0 lub ax+b ≥ 0 lub ax+b ≤ 0, gdzie a, b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi.

RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ I PARAMETREM
Wartością bezwzględną liczby meak. x
ə
· liczbę x, jeśli jest liczbą nicujemną
•

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wartość bezwzględna i jej właściwości

Dokument rozpoczyna się od definicji wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej. Przedstawia podstawowe właściwości wartości bezwzględnej, które są kluczowe dla rozwiązywania równań i nierówności z wartością bezwzględną.

Definition: Wartość bezwzględna liczby x to:

  • liczba x, jeśli jest nieujemna
  • liczba przeciwna do x, jeśli jest ujemna

Następnie prezentowane są ważne twierdzenia dotyczące wartości bezwzględnej, które są niezbędne przy rozwiązywaniu zadań.

Highlight: |x| = |-x| oraz √x² = |x|

Dokument omawia również geometryczną interpretację wartości bezwzględnej na osi liczbowej, co pomaga w zrozumieniu jej znaczenia.

Example: Środek odcinka wyznaczonego przez dwa punkty o współrzędnych a i b na osi liczbowej ma współrzędną równą średniej arytmetycznej liczb a i b, czyli a+ba+b/2.

Przedstawione są także twierdzenia dotyczące odległości między punktami na osi liczbowej, co jest bezpośrednio związane z wartością bezwzględną.

Vocabulary: Odległość między dwoma liczbami a i b na osi liczbowej jest równa |a-b|.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS