Język polski
Biologia
Chemia
Geografia
Historia
Genetyka molekularna
Organizm człowieka jako funkcjonalna całość
Układ krążenia
Bakterie i wirusy. organizmy beztkankowe
Stawonogi. mięczaki
Układ pokarmowy
Komórka
Proste zwierzęta bezkręgowe
Genetyka
Rozmnażanie i rozwój człowieka
Ekologia
Chemiczne podstawy życia
Metabolizm
Genetyka klasyczna
Układ wydalniczy
Pokaż wszystkie tematy
Stechiometria
Kwasy
Roztwory
Sole
Węglowodory
Wodorotlenki a zasady
Budowa atomu a układ okresowy pierwiastków chemicznych
Gazy i ich mieszaniny
Układ okresowy pierwiastków chemicznych
Efekty energetyczne i szybkość reakcji chemicznych
Systematyka związków nieorganicznych
Świat substancji
Pochodne węglowodorów
Reakcje chemiczne w roztworach wodnych
Reakcje utleniania-redukcji. elektrochemia
Pokaż wszystkie tematy
Twierdzenie sinusów w trójkącie to kluczowa zasada geometrii, która pozwala na obliczanie długości boków i kątów w trójkącie. Umożliwia także wyznaczanie promienia okręgu opisanego na trójkącie.
7.05.2022
6295
This page covers applications of the sine and cosine laws to special triangle cases, including:
These special cases are important for understanding wzór na pole trójkąta równoramiennego and wzór na pole trójkąta równobocznego.
Example: Prove that if two angles of a triangle are 30°, then the length of two sides of the triangle is equal to the radius of the circumscribed circle.
Proof: Let the two 30° angles be A and B. The third angle C must be 120°. Using the law of sines: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R For the sides opposite the 30° angles: a/sin 30° = b/sin 30° = 2R Since sin 30° = 1/2, we get a = R and b = R.
Highlight: Special triangle cases often have unique properties that can simplify calculations and provide insights into geometric relationships.
Ta strona wprowadza twierdzenie cosinusów, które jest kolejnym ważnym narzędziem w rozwiązywaniu problemów związanych z trójkątami.
Definicja: Twierdzenie cosinusów mówi, że w dowolnym trójkącie kwadrat długości jednego boku jest równy sumie kwadratów długości dwóch pozostałych boków, zmniejszonej o podwójny iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.
Strona zawiera przykłady zastosowania twierdzenia cosinusów do obliczania długości boków trójkąta.
Przykład: Obliczenie długości trzeciego boku trójkąta, gdy znane są długości dwóch boków a = 3, b = 9 oraz kąt między nimi γ = 120°.
Przedstawiono tu również zadanie na obliczenie cosinusów kątów trójkąta, gdy znane są długości wszystkich jego boków.
Highlight: Twierdzenie cosinusów jest szczególnie przydatne w sytuacjach, gdy znamy długości dwóch boków trójkąta i kąt między nimi, a chcemy obliczyć długość trzeciego boku lub gdy znamy długości wszystkich boków i chcemy obliczyć miary kątów.
This page introduces the twierdzenie sinusów (law of sines), a fundamental theorem in geometria płaska rozwiązywanie trójkątów.
The law of sines states that for any triangle ABC, the ratio of the length of a side to the sine of the opposite angle is constant and equal to the diameter of the circumscribed circle:
a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
Where a, b, c are side lengths, A, B, C are opposite angles, and R is the circumradius.
Several example problems demonstrate how to apply this theorem to find:
Example: Calculate the circumradius of triangle ABC if |AC| = 3 and angle CBA = 60°. Solution: Using a/sin A = 2R, we get 3/sin 60° = 2R. Solving for R gives R = 3/(2 * sin 60°) = √3.
Highlight: The law of sines is particularly useful for solving triangles when you know a combination of side lengths and opposite angles.
Vocabulary: Circumradius (R) - The radius of the circle that passes through all three vertices of a triangle.
This page introduces the twierdzenie cosinusów (law of cosines), another fundamental theorem for geometria płaska rozwiązywanie trójkątów.
The law of cosines states that in a triangle ABC:
c² = a² + b² - 2ab cos C
Where a, b, c are side lengths and C is the angle opposite side c.
This theorem is a generalization of the Pythagorean theorem and is especially useful for solving triangles when you know:
Definition: The law of cosines relates the square of one side of a triangle to the squares of the other two sides and the cosine of the angle between them.
Example: Find the length of the third side of a triangle if a = 3, b = 9, and γ = 120°. Solution: Using c² = a² + b² - 2ab cos γ, we get: c² = 3² + 9² - 2(3)(9)cos 120° = 9 + 81 + 54 = 144 c = √144 = 12
Highlight: The law of cosines is particularly useful for solving oblique (non-right) triangles where the Pythagorean theorem cannot be directly applied.
This page demonstrates how to use the twierdzenie cosinusów to solve various triangle problems, including:
These applications are crucial for mastering geometria płaska rozwiązywanie trójkątów, pole trójkąta pole koła zadania.
Example: In triangle ABC, |AB| = 8 cm, |BC| = 6 cm, |AC| = 5 cm. Calculate the cosines of all angles and determine if the triangle is acute, right, or obtuse.
Solution: Using the law of cosines for each angle: cos A = (b² + c² - a²) / (2bc) = (6² + 5² - 8²) / (2 * 6 * 5) = -0.1 cos B = (a² + c² - b²) / (2ac) = (8² + 5² - 6²) / (2 * 8 * 5) = 0.8 cos C = (a² + b² - c²) / (2ab) = (8² + 6² - 5²) / (2 * 8 * 6) = 0.7
Since cos A is negative and cos B and cos C are positive, the triangle is obtuse.
Highlight: The sign of the cosine of an angle indicates whether it's acute (positive), right (zero), or obtuse (negative).
Twierdzenie cosinusów znajduje szerokie zastosowanie w rozwiązywaniu problemów geometrycznych związanych z trójkątami. Jest szczególnie przydatne w sytuacjach, gdy znamy długości wszystkich trzech boków trójkąta i chcemy obliczyć jego kąty.
Przykład: W trójkącie ABC o bokach |AB| = 8 cm, |BC| = 6 cm, |AC| = 5 cm, można obliczyć cosinusy wszystkich kątów, stosując twierdzenie cosinusów dla każdego z nich.
Twierdzenie to pozwala również na określenie rodzaju trójkąta (ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny) na podstawie długości jego boków.
Highlight: Twierdzenie cosinusów umożliwia pełną analizę trójkąta, gdy znane są długości jego wszystkich boków, co czyni je niezastąpionym narzędziem w geometrii analitycznej.
Kombinacja twierdzenia cosinusów z twierdzeniem sinusów pozwala na rozwiązywanie szerokiego spektrum problemów geometrycznych związanych z trójkątami.
This page continues with more advanced applications of the twierdzenie sinusów to solve complex triangle problems. It covers scenarios involving:
The problems demonstrate how to combine the law of sines with other trigonometric identities and geometric relationships to solve for unknown triangle elements.
Example: In triangle ABC with angles α, β, γ, find the length of side b if sin α = 3/5, cos β = 4/5, and a = 8 cm. Solution: Using the law of sines, b/sin β = a/sin α. We can find sin β = √(1 - cos² β) = 3/5. Substituting values: b/(3/5) = 8/(3/5), so b = 8.
Highlight: When solving these problems, it's often helpful to draw a diagram and label all known information to visualize the relationships between sides and angles.
162
3616
4/2
geometria płaska - pole czworokąta
geometria płaska - pole czworokąta (+odpowiedzi pazdro 3 podstawa)
30
778
1/2
Dwie proste przecięte trzecią prostą
Kąty naprzemianległe i odpowiadające
327
4762
1/2
Tego nie ma w tablicach! (dla Podstawy 2022)
Tablice Matematyczne Maturalne z dopisanymi wzorami, które musisz znać na maturze
11
339
8/1
czworokąty
wszystko o czworokątach
37
1213
1/2
Trójkąty
najwazniejsze informacje na temat trójkątów, wzory, rysunki
245
7146
1/2
geometria płaska - trójkąty
geometria płaska - trójkąty
Średnia ocena aplikacji
Uczniowie korzystają z Knowunity
W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach
Uczniowie, którzy przesłali notatki
Użytkownik iOS
Filip, użytkownik iOS
Zuzia, użytkownik iOS
Twierdzenie sinusów w trójkącie to kluczowa zasada geometrii, która pozwala na obliczanie długości boków i kątów w trójkącie. Umożliwia także wyznaczanie promienia okręgu opisanego na trójkącie.
Darmowe notatki do każdego przedmiotu, stworzone przez najlepszych studentów
Uzyskaj lepsze oceny dzięki inteligentnemu wsparciu AI
Ucz się mądrzej, stresuj się mniej - zawsze i wszędzie
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
This page covers applications of the sine and cosine laws to special triangle cases, including:
These special cases are important for understanding wzór na pole trójkąta równoramiennego and wzór na pole trójkąta równobocznego.
Example: Prove that if two angles of a triangle are 30°, then the length of two sides of the triangle is equal to the radius of the circumscribed circle.
Proof: Let the two 30° angles be A and B. The third angle C must be 120°. Using the law of sines: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R For the sides opposite the 30° angles: a/sin 30° = b/sin 30° = 2R Since sin 30° = 1/2, we get a = R and b = R.
Highlight: Special triangle cases often have unique properties that can simplify calculations and provide insights into geometric relationships.
Darmowe notatki do każdego przedmiotu, stworzone przez najlepszych studentów
Uzyskaj lepsze oceny dzięki inteligentnemu wsparciu AI
Ucz się mądrzej, stresuj się mniej - zawsze i wszędzie
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Ta strona wprowadza twierdzenie cosinusów, które jest kolejnym ważnym narzędziem w rozwiązywaniu problemów związanych z trójkątami.
Definicja: Twierdzenie cosinusów mówi, że w dowolnym trójkącie kwadrat długości jednego boku jest równy sumie kwadratów długości dwóch pozostałych boków, zmniejszonej o podwójny iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.
Strona zawiera przykłady zastosowania twierdzenia cosinusów do obliczania długości boków trójkąta.
Przykład: Obliczenie długości trzeciego boku trójkąta, gdy znane są długości dwóch boków a = 3, b = 9 oraz kąt między nimi γ = 120°.
Przedstawiono tu również zadanie na obliczenie cosinusów kątów trójkąta, gdy znane są długości wszystkich jego boków.
Highlight: Twierdzenie cosinusów jest szczególnie przydatne w sytuacjach, gdy znamy długości dwóch boków trójkąta i kąt między nimi, a chcemy obliczyć długość trzeciego boku lub gdy znamy długości wszystkich boków i chcemy obliczyć miary kątów.
Darmowe notatki do każdego przedmiotu, stworzone przez najlepszych studentów
Uzyskaj lepsze oceny dzięki inteligentnemu wsparciu AI
Ucz się mądrzej, stresuj się mniej - zawsze i wszędzie
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
This page introduces the twierdzenie sinusów (law of sines), a fundamental theorem in geometria płaska rozwiązywanie trójkątów.
The law of sines states that for any triangle ABC, the ratio of the length of a side to the sine of the opposite angle is constant and equal to the diameter of the circumscribed circle:
a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
Where a, b, c are side lengths, A, B, C are opposite angles, and R is the circumradius.
Several example problems demonstrate how to apply this theorem to find:
Example: Calculate the circumradius of triangle ABC if |AC| = 3 and angle CBA = 60°. Solution: Using a/sin A = 2R, we get 3/sin 60° = 2R. Solving for R gives R = 3/(2 * sin 60°) = √3.
Highlight: The law of sines is particularly useful for solving triangles when you know a combination of side lengths and opposite angles.
Vocabulary: Circumradius (R) - The radius of the circle that passes through all three vertices of a triangle.
Darmowe notatki do każdego przedmiotu, stworzone przez najlepszych studentów
Uzyskaj lepsze oceny dzięki inteligentnemu wsparciu AI
Ucz się mądrzej, stresuj się mniej - zawsze i wszędzie
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
This page introduces the twierdzenie cosinusów (law of cosines), another fundamental theorem for geometria płaska rozwiązywanie trójkątów.
The law of cosines states that in a triangle ABC:
c² = a² + b² - 2ab cos C
Where a, b, c are side lengths and C is the angle opposite side c.
This theorem is a generalization of the Pythagorean theorem and is especially useful for solving triangles when you know:
Definition: The law of cosines relates the square of one side of a triangle to the squares of the other two sides and the cosine of the angle between them.
Example: Find the length of the third side of a triangle if a = 3, b = 9, and γ = 120°. Solution: Using c² = a² + b² - 2ab cos γ, we get: c² = 3² + 9² - 2(3)(9)cos 120° = 9 + 81 + 54 = 144 c = √144 = 12
Highlight: The law of cosines is particularly useful for solving oblique (non-right) triangles where the Pythagorean theorem cannot be directly applied.
Darmowe notatki do każdego przedmiotu, stworzone przez najlepszych studentów
Uzyskaj lepsze oceny dzięki inteligentnemu wsparciu AI
Ucz się mądrzej, stresuj się mniej - zawsze i wszędzie
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
This page demonstrates how to use the twierdzenie cosinusów to solve various triangle problems, including:
These applications are crucial for mastering geometria płaska rozwiązywanie trójkątów, pole trójkąta pole koła zadania.
Example: In triangle ABC, |AB| = 8 cm, |BC| = 6 cm, |AC| = 5 cm. Calculate the cosines of all angles and determine if the triangle is acute, right, or obtuse.
Solution: Using the law of cosines for each angle: cos A = (b² + c² - a²) / (2bc) = (6² + 5² - 8²) / (2 * 6 * 5) = -0.1 cos B = (a² + c² - b²) / (2ac) = (8² + 5² - 6²) / (2 * 8 * 5) = 0.8 cos C = (a² + b² - c²) / (2ab) = (8² + 6² - 5²) / (2 * 8 * 6) = 0.7
Since cos A is negative and cos B and cos C are positive, the triangle is obtuse.
Highlight: The sign of the cosine of an angle indicates whether it's acute (positive), right (zero), or obtuse (negative).
Darmowe notatki do każdego przedmiotu, stworzone przez najlepszych studentów
Uzyskaj lepsze oceny dzięki inteligentnemu wsparciu AI
Ucz się mądrzej, stresuj się mniej - zawsze i wszędzie
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Twierdzenie cosinusów znajduje szerokie zastosowanie w rozwiązywaniu problemów geometrycznych związanych z trójkątami. Jest szczególnie przydatne w sytuacjach, gdy znamy długości wszystkich trzech boków trójkąta i chcemy obliczyć jego kąty.
Przykład: W trójkącie ABC o bokach |AB| = 8 cm, |BC| = 6 cm, |AC| = 5 cm, można obliczyć cosinusy wszystkich kątów, stosując twierdzenie cosinusów dla każdego z nich.
Twierdzenie to pozwala również na określenie rodzaju trójkąta (ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny) na podstawie długości jego boków.
Highlight: Twierdzenie cosinusów umożliwia pełną analizę trójkąta, gdy znane są długości jego wszystkich boków, co czyni je niezastąpionym narzędziem w geometrii analitycznej.
Kombinacja twierdzenia cosinusów z twierdzeniem sinusów pozwala na rozwiązywanie szerokiego spektrum problemów geometrycznych związanych z trójkątami.
Darmowe notatki do każdego przedmiotu, stworzone przez najlepszych studentów
Uzyskaj lepsze oceny dzięki inteligentnemu wsparciu AI
Ucz się mądrzej, stresuj się mniej - zawsze i wszędzie
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
This page continues with more advanced applications of the twierdzenie sinusów to solve complex triangle problems. It covers scenarios involving:
The problems demonstrate how to combine the law of sines with other trigonometric identities and geometric relationships to solve for unknown triangle elements.
Example: In triangle ABC with angles α, β, γ, find the length of side b if sin α = 3/5, cos β = 4/5, and a = 8 cm. Solution: Using the law of sines, b/sin β = a/sin α. We can find sin β = √(1 - cos² β) = 3/5. Substituting values: b/(3/5) = 8/(3/5), so b = 8.
Highlight: When solving these problems, it's often helpful to draw a diagram and label all known information to visualize the relationships between sides and angles.
Darmowe notatki do każdego przedmiotu, stworzone przez najlepszych studentów
Uzyskaj lepsze oceny dzięki inteligentnemu wsparciu AI
Ucz się mądrzej, stresuj się mniej - zawsze i wszędzie
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Darmowe notatki do każdego przedmiotu, stworzone przez najlepszych studentów
Uzyskaj lepsze oceny dzięki inteligentnemu wsparciu AI
Ucz się mądrzej, stresuj się mniej - zawsze i wszędzie
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Darmowe notatki do każdego przedmiotu, stworzone przez najlepszych studentów
Uzyskaj lepsze oceny dzięki inteligentnemu wsparciu AI
Ucz się mądrzej, stresuj się mniej - zawsze i wszędzie
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Matematyka - geometria płaska - pole czworokąta
geometria płaska - pole czworokąta (+odpowiedzi pazdro 3 podstawa)
162
3616
1
Matematyka - Dwie proste przecięte trzecią prostą
Kąty naprzemianległe i odpowiadające
30
778
0
Matematyka - Tego nie ma w tablicach! (dla Podstawy 2022)
Tablice Matematyczne Maturalne z dopisanymi wzorami, które musisz znać na maturze
327
4762
0
Matematyka - czworokąty
wszystko o czworokątach
11
339
0
Matematyka - Trójkąty
najwazniejsze informacje na temat trójkątów, wzory, rysunki
37
1213
0
Matematyka - geometria płaska - trójkąty
geometria płaska - trójkąty
245
7146
3
Średnia ocena aplikacji
Uczniowie korzystają z Knowunity
W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach
Uczniowie, którzy przesłali notatki
Użytkownik iOS
Filip, użytkownik iOS
Zuzia, użytkownik iOS
