Przedmioty

Matematyka

Planimetria

Kąty w trójkącie

Twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych

Geometria płaska dla dzieci - Rozwiązywanie trójkątów, Pole trójkąta i koła, Wzory na sprawdzian

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Zobacz

Geometria płaska dla dzieci - Rozwiązywanie trójkątów, Pole trójkąta i koła, Wzory na sprawdzian

Madzmel

@madzmel

1713 Obserwujących

Obserwuj

Geometria płaska - rozwiązywanie trójkątów is a comprehensive guide covering key trigonometric theorems and formulas for solving triangles. This resource is invaluable for students studying geometria płaska 2 liceum and preparing for exams on pole trójkąta, pole koła Sprawdzian.

Key topics covered include:

The law of sines (twierdzenie sinusów)
The law of cosines (twierdzenie cosinusów)
Formulas for triangle area and circumradius
Solving triangles given various side lengths and angles
Applications to isosceles and equilateral triangles

The guide provides numerous worked examples and practice problems to reinforce understanding of geometria płaska trójkąty wzory and develop problem-solving skills for twierdzenie sinusów i cosinusów zadania.

7.05.2022

6165

Special Triangle Cases

This page covers applications of the sine and cosine laws to special triangle cases, including:

Isosceles triangles
Equilateral triangles
30-60-90 triangles

These special cases are important for understanding wzór na pole trójkąta równoramiennego and wzór na pole trójkąta równobocznego.

Example: Prove that if two angles of a triangle are 30°, then the length of two sides of the triangle is equal to the radius of the circumscribed circle.

Proof: Let the two 30° angles be A and B. The third angle C must be 120°. Using the law of sines: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R For the sides opposite the 30° angles: a/sin 30° = b/sin 30° = 2R Since sin 30° = 1/2, we get a = R and b = R.

Highlight: Special triangle cases often have unique properties that can simplify calculations and provide insights into geometric relationships.

Twierdzenie sinusów
W dowolnym trójkącie stosunek długości boku do sinusa kąta leżącego naprzeciwko tego boku jest stały i równy
długości śr

The Law of Sines

This page introduces the twierdzenie sinusów (law of sines), a fundamental theorem in geometria płaska rozwiązywanie trójkątów.

The law of sines states that for any triangle ABC, the ratio of the length of a side to the sine of the opposite angle is constant and equal to the diameter of the circumscribed circle:

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

Where a, b, c are side lengths, A, B, C are opposite angles, and R is the circumradius.

Several example problems demonstrate how to apply this theorem to find:

The circumradius of a triangle given side lengths and angles
Side lengths of a triangle given angles and the circumradius
Angles of a triangle given side lengths

Example: Calculate the circumradius of triangle ABC if |AC| = 3 and angle CBA = 60°. Solution: Using a/sin A = 2R, we get 3/sin 60° = 2R. Solving for R gives R = 3/(2 * sin 60°) = √3.

Highlight: The law of sines is particularly useful for solving triangles when you know a combination of side lengths and opposite angles.

Vocabulary: Circumradius (R) - The radius of the circle that passes through all three vertices of a triangle.

Zobacz

The Law of Cosines

This page introduces the twierdzenie cosinusów (law of cosines), another fundamental theorem for geometria płaska rozwiązywanie trójkątów.

The law of cosines states that in a triangle ABC:

c² = a² + b² - 2ab cos C

Where a, b, c are side lengths and C is the angle opposite side c.

This theorem is a generalization of the Pythagorean theorem and is especially useful for solving triangles when you know:

Three side lengths
Two sides and the included angle

Definition: The law of cosines relates the square of one side of a triangle to the squares of the other two sides and the cosine of the angle between them.

Example: Find the length of the third side of a triangle if a = 3, b = 9, and γ = 120°. Solution: Using c² = a² + b² - 2ab cos γ, we get: c² = 3² + 9² - 2(3)(9)cos 120° = 9 + 81 + 54 = 144 c = √144 = 12

Highlight: The law of cosines is particularly useful for solving oblique (non-right) triangles where the Pythagorean theorem cannot be directly applied.

Zobacz

Solving Triangles with the Law of Cosines

This page demonstrates how to use the twierdzenie cosinusów to solve various triangle problems, including:

Finding the third side of a triangle given two sides and the included angle
Calculating angles of a triangle when all three sides are known
Determining if a triangle is acute, right, or obtuse based on side lengths

These applications are crucial for mastering geometria płaska rozwiązywanie trójkątów, pole trójkąta pole koła zadania.

Example: In triangle ABC, |AB| = 8 cm, |BC| = 6 cm, |AC| = 5 cm. Calculate the cosines of all angles and determine if the triangle is acute, right, or obtuse.

Solution: Using the law of cosines for each angle: cos A = (b² + c² - a²) / (2bc) = (6² + 5² - 8²) / (2 * 6 * 5) = -0.1 cos B = (a² + c² - b²) / (2ac) = (8² + 5² - 6²) / (2 * 8 * 5) = 0.8 cos C = (a² + b² - c²) / (2ab) = (8² + 6² - 5²) / (2 * 8 * 6) = 0.7

Since cos A is negative and cos B and cos C are positive, the triangle is obtuse.

Highlight: The sign of the cosine of an angle indicates whether it's acute (positive), right (zero), or obtuse (negative).

Zobacz

Applications of the Law of Sines

This page continues with more advanced applications of the twierdzenie sinusów to solve complex triangle problems. It covers scenarios involving:

Triangles with two known angles and one side
Relationships between trigonometric functions and side lengths
Finding side lengths when given angle measures and the circumradius

The problems demonstrate how to combine the law of sines with other trigonometric identities and geometric relationships to solve for unknown triangle elements.

Example: In triangle ABC with angles α, β, γ, find the length of side b if sin α = 3/5, cos β = 4/5, and a = 8 cm. Solution: Using the law of sines, b/sin β = a/sin α. We can find sin β = √(1 - cos² β) = 3/5. Substituting values: b/(3/5) = 8/(3/5), so b = 8.

Highlight: When solving these problems, it's often helpful to draw a diagram and label all known information to visualize the relationships between sides and angles.

Zobacz

Podobne notatki

Know Tego nie ma w tablicach! (dla Podstawy 2022) thumbnail

327

4701

1/2

Tego nie ma w tablicach! (dla Podstawy 2022)

Tablice Matematyczne Maturalne z dopisanymi wzorami, które musisz znać na maturze

163

funkcje trygonometryczne

notatka

Know geometria płaska - pole czworokąta thumbnail

160

3368

4/2

geometria płaska - pole czworokąta

geometria płaska - pole czworokąta (+odpowiedzi pazdro 3 podstawa)

Know geometria płaska - trójkąty thumbnail

235

5102

1/2

geometria płaska - trójkąty

523

8983

1/2

planimetria

notatka z matematyki

795

8/1

Trójkąty i czworokąty

🧡

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

Matematyka

Planimetria

Kąty w trójkącie

Twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych

Geometria płaska dla dzieci - Rozwiązywanie trójkątów, Pole trójkąta i koła, Wzory na sprawdzian

Madzmel

@madzmel

1713 Obserwujących

Obserwuj

Key topics covered include:

The law of sines (twierdzenie sinusów)
The law of cosines (twierdzenie cosinusów)
Formulas for triangle area and circumradius
Solving triangles given various side lengths and angles
Applications to isosceles and equilateral triangles

7.05.2022

6165

Special Triangle Cases

This page covers applications of the sine and cosine laws to special triangle cases, including:

Isosceles triangles
Equilateral triangles
30-60-90 triangles

These special cases are important for understanding wzór na pole trójkąta równoramiennego and wzór na pole trójkąta równobocznego.

Example: Prove that if two angles of a triangle are 30°, then the length of two sides of the triangle is equal to the radius of the circumscribed circle.

Highlight: Special triangle cases often have unique properties that can simplify calculations and provide insights into geometric relationships.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Dołącz do milionów studentów

Popraw swoje oceny

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

The Law of Sines

This page introduces the twierdzenie sinusów (law of sines), a fundamental theorem in geometria płaska rozwiązywanie trójkątów.

The law of sines states that for any triangle ABC, the ratio of the length of a side to the sine of the opposite angle is constant and equal to the diameter of the circumscribed circle:

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

Where a, b, c are side lengths, A, B, C are opposite angles, and R is the circumradius.

Several example problems demonstrate how to apply this theorem to find:

The circumradius of a triangle given side lengths and angles
Side lengths of a triangle given angles and the circumradius
Angles of a triangle given side lengths

Example: Calculate the circumradius of triangle ABC if |AC| = 3 and angle CBA = 60°. Solution: Using a/sin A = 2R, we get 3/sin 60° = 2R. Solving for R gives R = 3/(2 * sin 60°) = √3.

Highlight: The law of sines is particularly useful for solving triangles when you know a combination of side lengths and opposite angles.

Vocabulary: Circumradius (R) - The radius of the circle that passes through all three vertices of a triangle.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Dołącz do milionów studentów

Popraw swoje oceny

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

The Law of Cosines

This page introduces the twierdzenie cosinusów (law of cosines), another fundamental theorem for geometria płaska rozwiązywanie trójkątów.

The law of cosines states that in a triangle ABC:

c² = a² + b² - 2ab cos C

Where a, b, c are side lengths and C is the angle opposite side c.

This theorem is a generalization of the Pythagorean theorem and is especially useful for solving triangles when you know:

Three side lengths
Two sides and the included angle

Definition: The law of cosines relates the square of one side of a triangle to the squares of the other two sides and the cosine of the angle between them.

Example: Find the length of the third side of a triangle if a = 3, b = 9, and γ = 120°. Solution: Using c² = a² + b² - 2ab cos γ, we get: c² = 3² + 9² - 2(3)(9)cos 120° = 9 + 81 + 54 = 144 c = √144 = 12

Highlight: The law of cosines is particularly useful for solving oblique (non-right) triangles where the Pythagorean theorem cannot be directly applied.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Dołącz do milionów studentów

Popraw swoje oceny

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Solving Triangles with the Law of Cosines

This page demonstrates how to use the twierdzenie cosinusów to solve various triangle problems, including:

Finding the third side of a triangle given two sides and the included angle
Calculating angles of a triangle when all three sides are known
Determining if a triangle is acute, right, or obtuse based on side lengths

These applications are crucial for mastering geometria płaska rozwiązywanie trójkątów, pole trójkąta pole koła zadania.

Example: In triangle ABC, |AB| = 8 cm, |BC| = 6 cm, |AC| = 5 cm. Calculate the cosines of all angles and determine if the triangle is acute, right, or obtuse.

Since cos A is negative and cos B and cos C are positive, the triangle is obtuse.

Highlight: The sign of the cosine of an angle indicates whether it's acute (positive), right (zero), or obtuse (negative).

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Dołącz do milionów studentów

Popraw swoje oceny

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Applications of the Law of Sines

This page continues with more advanced applications of the twierdzenie sinusów to solve complex triangle problems. It covers scenarios involving:

Triangles with two known angles and one side
Relationships between trigonometric functions and side lengths
Finding side lengths when given angle measures and the circumradius

The problems demonstrate how to combine the law of sines with other trigonometric identities and geometric relationships to solve for unknown triangle elements.

Example: In triangle ABC with angles α, β, γ, find the length of side b if sin α = 3/5, cos β = 4/5, and a = 8 cm. Solution: Using the law of sines, b/sin β = a/sin α. We can find sin β = √(1 - cos² β) = 3/5. Substituting values: b/(3/5) = 8/(3/5), so b = 8.

Highlight: When solving these problems, it's often helpful to draw a diagram and label all known information to visualize the relationships between sides and angles.